Метод наименьших квадратов (Линейная регрессия)

      Пусть имеется N пар измеренных значений x_i, y_i  (см. таблицу ниже, данные выбирайте в соответствии со своим вариантом) , между y и x ожидается зависимость вида y = ax + b. Метод наименьших квадратов позволяет найти такие значения а и b,  при которых экспериментальные точки расположены наиболее близко к прямой.

Найдите,   используя   метод   наименьших   квадратов,  уравнение прямой. Изобразите на графике (в тетради) искомую прямую  вида y = ax + b и нанесите на этот же график измеренные точки. Сделайте соответствующие выводы.

Примечание. Значения х  измерены с большой точностью и их можно считать в первом приближении  точными.

Варианты (номер варианта равен порядковому номеру в списке группы, после 15-го номера «номер варианта = номер в списке группы – 15»):

1

x_ii         0.10     0.20     0.30     0.40     0.50     0.60     0.70     0.80     0.90  1.00

y_i         0.71     1.22     1.70     2.13     2.61     3.14     3.64     4.21     4.65  5.06

2

x_ii         0.15     0.25     0.35     0.45     0.55     0.65     0.75     0.85     0.95  1.05

y_i        -1.55   -0.94    -0.35     0.23     0.83     1.42     1.98     2.56     3.14   3.70

3

x_i         0.20     0.30     0.40     0.50     0.60     0.70     0.80     0.90     1.00  1.10

Yi        2.82     3.48     4.22     4.93     5.57     6.43     6.89     7.60     8.44  8.87

4

x_i         0.25     0.35     0.45     0.55     0.65     0.75     0.85     0.95     1.05  1.15

Yi        1.81     2.52     3.38     4.08     4.95     5.74     6.42     7.28     7.93  8.66

5

x_i         0.30     0.40     0.50     0.60     0.70     0.80     0.90     1.00     1.10  1.20

Yi        2.22     3.05     4.07     4.85     5.67     6.57     7.63     8.38     9.09 10.30

6

x_i         0.35     0.45     0.55     0.65     0.75     0.85     0.95     1.05     1.15  1.25

Yi        2.59     3.57     4.44     5.37     6.55     7.46     8.35     9.32     10.38 11.58

7

x_i         0.40     0.50     0.60     0.70     0.80     0.90     1.00     1.10     1.20  1.30

Yi        3.62     4.70     5.70     6.63     7.76     9.01     10.20   10.85   12.19 13.27

8

x_i         0.45     0.55     0.65     0.75     0.85     0.95     1.05     1.15     1.25  1.35

Yi        2.73     3.14     3.43     3.75     4.21     4.37     4.74     5.20     5.42  5.97

9

x_i         0.50     0.60     0.70     0.80     0.90     1.00     1.10     1.20     1.30  1.40

Yi        2.95     3.38     3.97     4.35     4.70     5.23     5.68     6.17     6.52  6.98

10

x_i         0.55     0.65     0.75     0.85     0.95     1.05     1.15     1.25     1.35  1.45

Yi        3.48     3.99     4.52     5.01     5.68     6.08     6.78     7.11     7.65  8.28

11

x_i         0.60     0.70     0.80     0.90     1.00     1.10     1.20     1.30     1.40  1.50

Yi        6.16     6.81     7.36     8.15     8.65     9.41     9.95     10.74   11.01 11.61

12

x_i         0.65     0.75     0.85     0.95     1.05     1.15     1.25     1.35     1.45  1.55

Yi        6.72     7.56     8.00     8.77     9.80     10.22   10.84   11.72   12.67 13.13

13

x_i         0.70     0.80     0.90     1.00     1.10     1.20     1.30     1.40     1.50  1.60

Yi        4.45     5.40     6.16     6.77     7.61     8.49     9.51     10.41   11.16 12.09

14

x_i         0.75     0.85     0.95     1.05     1.15     1.25     1.35     1.45     1.55  1.65

Yi       -0.31    -0.16   -0.01     0.13      0.28    0.42     0.58     0.73      0.88  0.99

15

x_i         0.80     0.90     1.00     1.10     1.20     1.30     1.40     1.50     1.60  1.70

Yi        3.77     4.12     4.30     4.65     4.83     5.05     5.15     5.46     5.77  6.03

                   Рекомендации к выполнению:

·      Выпишите  выражения для a и b, формулы для вычисления  погрешностей Da и Db, коэффициента корреляции r.

·      Напишите список условных обозначений. Составьте блок-схему (алгоритм) программы.

·      Напишите текст программы и вычислите коэффициенты  a  и  b,  а  также их погрешности.

·      Напишите уравнение прямой. Постройте в тетради график прямой и нанесите экспериментальные точки.

·      Рассчитав коэффициент корреляции r между Х и У , определите, c какой доверительной вероятностью можно ваши измеренные данные аппроксимировать линейной зависимостью.

Отчет по работе

a)    Постановка задачи.

b)   Расчетные соотношения.

c)    Алгоритм вычислений (в виде блок-схемы).

d)   Результаты расчета в виде уравнения прямой и графика. Значения a и b с погрешностями. 

e)    Смысл полученных величин. Выводы.

Примечание. Показать программу в действии.

Лабораторная на Pascale.

finzo@mail.ru